DS JUNKSTAブログ

元文系院卒が独学で取り組むDS（データサイエンス）、その有象無象のアウトプット、DSは本当に楽しい

ベルヌーイの微分方程式における"合成関数の微分"

ベルヌーイの微分方程式とは、１階線形微分方程式の応用系の解法の一つ。

マセマ『常微分方程式キャンパスゼミ』のP.44、ベルヌーイの微分方程式を用いた解法の解説より。

ベルヌーイの微分方程式では、

$y' = + P(x)y = Q(x)y^n$ 　…① 　 $(n ≠ 0, 1)$

$y ≠ 0$ 　として、①の両辺に $(-n+1) \cdot y^{-n}$ をかけて、

$(-n + 1)y^{-n} \cdot y' + (-n + 1)P(x)y^{-n+1} = (-n + 1)Q(x)$ 　という形にする。

ここで、合成関数の微分で $(y^{-n+1})' = (-n + 1)y^{-n} \cdot y'$ とできることを利用して、

$(y^{-n+1})' + (-n + 1)P(x)y^{-n+1} = (-n + 1)Q(x)$ 　…①'

という形にし、①'に $y^{-n+1} = u$ としてuの１階線形微分方程式の解の方程式が使えるような形にしていくが、合成関数の微分でなぜ $(y^{-n+1})' = (-n + 1)y^{-n} \cdot y'$ となるのか少しつまづいたので、合成関数の微分を振り返りながら整理する。

合成微分 $(y^{-n+1})' = (-n + 1)y^{-n} \cdot y'$

$t = y^{-n+1}$ とすると、

$(y^{-n+1})' = (t)'$ となるが、そもそも $(y^{-n+1})'$ はxでの微分を意味するので、

$(t)' = \frac{dt}{dx}$ を意味する。

ここで、合成関数の微分として考えると、

$\frac{dt}{dx} = \frac{dt}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}$ となるが、

$\frac{dt}{dy} = (y^{-n+1})' = (-n+1)y^{-n}$ 　および　 $\frac{dy}{dx} = y'$ なので、

$\frac{dt}{dx} = \frac{dt}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = (-n+1)y^{n} \cdot y'$ となる。

つまり、 $(y^{-n+1})' = (-n+1)y^{n} \cdot y'$ と表せるので、ベルヌーイの微分方程式では $y^{-n+1} = u$ として $u$ の微分方程式を解いていけることになる。

参考にさせていただいたサイト：

ベルヌーイ形の微分方程式（高校数学の基本問題）