2sinxcosxの積分 - DS JUNKSTAブログ

マセマ『常微分方程式キャンパスゼミ』のP.44、1階線形微分方程式の解の公式を用いた例題解説で、

$y = \frac{1}{\cos x}(\int 2 \sin x \cos x dx + C) = \frac{1}{\cos x}(\sin ^2 x + C)$

とあった。

なぜ　 $\int 2\sin x \cos x dx + C$ 　が $\sin ^2 x + C$ 　となるのかわからなかったので、微分積分の基礎を振り返って整理する。

まず、2倍角の公式

$\sin 2θ = 2 \sin θ + \cos θ$

より、

$\int 2\sin x \cos x dx + C = \int \sin 2x dx + C$ 　…①

となる。

ここから置換積分法を利用して解いていく。

$2x = t$ とおいて、これの両辺をtで微分すると、 $2 \frac{dx}{dt} = t$ より

$dx = \frac{1}{2} dt$ 　…②

となる。

①に $2x = t$ を代入し、②より、

$\int \sin 2x dx + C = \int \sin t dx + C = \int \sin t \frac{1}{2} dt + C = \frac{1}{2} \int \sin t dt + C$

となる。

積分計算の基本公式

$\int \sin x dx = - \cos x$ 　

より、

$\frac{1}{2} \int \sin t dt + C = - \frac{1}{2} \cos t + C = - \frac{1}{2} \cos 2x + C$ 　…③

となる。

2倍角の公式

$\cos 2θ = 2 \cos ^2 θ - 1 = 1 - 2 \sin ^2 θ$

より、③は

$- \frac{1}{2} \cos 2x + C = - \frac{1}{2} (1 - 2 \sin ^2 x) + C$

$= sin ^2 x + C - \frac{1}{2}$

となる。

積分定数Cは変化して良いので、 $C - \frac{1}{2} = C_1$ 　とおくと、③は

$\sin ^2 x + C_1$

となる！

よって

$\int 2\sin x \cos x dx + C = \sin ^2 + C_1$

であり、

$y = \frac{1}{\cos x}(\int 2 \sin x \cos x dx + C) = \frac{1}{\cos x}(\sin ^2 x + C)$

と表せることがわかった。